级数

§1柯西收敛原理与数项级数的概念

1.柯西收敛原理

定理 $\mathbf{1}$（柯西收敛原理）设 $\left\{a_n\right\}$ 是一个序列，则 $\left\{a_n\right\}$ 有极限的充要条件是：对于任意给定的 $\varepsilon>0$ ，都存在 $N$ ，使得

$$ \left|a_n-a_m\right|<\varepsilon \text {, 只要 } n \geqslant N, m \geqslant N \text {. } $$ 定理 2 设 $y=f(x)$ 在 $a$ 的一个空心邻域内有定义，则 $y=f(x)$ 当 $x \rightarrow a$ 时有极限的充要条件是：对于任意给定的 $\varepsilon>0$ ，存在一个 $\delta>0$ ，使得

\[ \left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|<\varepsilon, \]

只要 $x_1$ 与 $x_2$ 满足下列条件：

\[ 0<\left|x_1-a\right|<\delta, \quad 0<\left|x_2-a\right|<\delta . \]

2.数项级数及其敏散性的概念

定义对于给定的级数 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ ，我们把级数的前 $n$ 项之和 $$ S_n=\sum_{k=1}^n a_k $$

称为级数的部分和。当 $n \rightarrow \infty$ 时，若部分和序列 $\left\{S_n\right\}$ 有极限 $S$ ，则称级数 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ 收敛，且称 $S$ 为这个级数的和，记作

$$ S=\sum_{k=1}^{\infty} a_k $$ 定理 3 设 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ 为给定的一个无穷级数，则该级数收敛的必要条件是其通项趋于零，也即

$$ a_k \rightarrow 0 \quad(\text { 当 } k \rightarrow \infty) \text {. } $$ 定理 4 级数 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ 收敛的必要条件是：对于任意给定的 $\varepsilon>0$ ，存在一个 $N$ ，使得

\[ \left|\sum_{k=n+1}^{n+p} a_k\right|<\varepsilon \text {, 只要 } n \geqslant N, p \geqslant 1 \text {. } \]

粗略地说，这个定理告诉我们一个级数收敛的充要条件是，在级数中任意取出一段和 $a_{n+1}+\cdots+a_{n+p}$ ，无论项数 $p$ 有多大，只要 $n$ 充分大，这段和的绝对值就足够小．

3.收敏级数的性质

（1）若 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ 与 $\sum_{k=1}^{\infty} b_k$ 都是收玫的，并分别收玫于 $S_1$ 及 $S_2$ ，则级数

\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k \pm b_k\right) \]

也收敛，并收敛于 $S_1 \pm S_2$ 。（2）若级数 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ 收玫于 $S$ ，则对任意常数 $c$ ，级数 $\sum_{k=1}^{\infty} c a_k$ 也收敛，并收敛于 $c S$ ．

（3）设有两级数 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ 与 $\sum_{k=1}^{\infty} b_k$ ．若存在一个 $N$ ，使得

\[ a_k=b_k \text {, 当 } k \geqslant N \text {, } \]

则这两个级数同时收玫或同时发散．

（3）设有两级数 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ 与 $\sum_{k=1}^{\infty} b_k$ ．若存在一个 $N$ ，使得

\[ a_k=b_k \text {, 当 } k \geqslant N \text {, } \]

则这两个级数同时收玫或同时发散．

（4）将收玫级数的项任意加括号后所成的新级数，仍然收玫到原级数的和（此性质称为无穷和的结合律）。

§2正项级数的收敛判别法

顾名思义，正项级数就是每一项都不小于零的级数，即当 $u_n \geqslant 0(n=1$ ，$2, \cdots)$ 时，$\sum^{\infty} u_n$ 就称为正项级数．

命题 1 正项级数 $\sum_{n=1} u_n$ 收敛的充要条件是其部分和序列 $\left\{S_n\right\}$ 有上界。

定理 1 （比较判别法）设两正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 的一般项满足 $u_n \leqslant v_n(n=1,2, \cdots)$ ，则（1）由级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛可断定级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也收敛；（2）由 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散可断定 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 也发散。

推论若存在常数 $N(\geqslant 1)$ 及 $c(>0)$ ，使

\[ 0 \leqslant u_n \leqslant c v_n \text {, 只要 } n \geqslant N \text {, } \]

则当 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也收敛；当 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散时，$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 也发散。

定理 2 设有两个正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ ，且有 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_n}{v_n}=h $$

其中 $h$ 为有穷数或 $+\infty$ ．则有下述结论：（1）当 $0 \leqslant h<+\infty$ 时，若 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛；（2）当 $0<h \leqslant+\infty$ 时，若 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。特别地，当 $0<h<+\infty$ 时，两个无穷级数同时收敛或同时发散．

定理 3 （达朗贝尔判别法）若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n\left(u_n>0\right)$ 满足 $$ \lim {n \rightarrow \infty} \frac{u{n+1}}{u_n}=l, $$

则（1）当 $l<1$ 时，级数收敛；（2）当 $l>1$ 时，级数发散；（3）当 $l=1$ 时，级数的敛散性不定：可能收敛，也可能发散。

定理 4 （柯西判别法）若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 满足 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=l, $$

则（1）当 $l<1$ 时，级数收敛；（2）当 $l>1$ 时，级数发散；3）当 $l=1$ 时，级数的敛散性不定：可能收敛，也可能发散。

定理 $\mathbf{5}^*$（拉比判别法）若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n\left(u_n \neq 0\right)$ 满足 $$ \lim {n \rightarrow \infty} n\left(\frac{u_n}{u{n+1}}-1\right)=R \quad(R \text { 可以是 } \infty), $$

则（1）当 $R>1$ 时，级数收敛；（2）当 $R<1$ 时，级数发散；（3）当 $R=1$ 时，敛散性不定。证明从略．这个判别法用得较少，读者可不必记住它．

定义设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有定义，且对任意 $A>a, f(x)$ 在 $[a, A]$ 上可积，若极限 $\lim _{A \rightarrow+\infty} \int_a^A f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则称函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$上的无穷积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。并将上述极限值定义为无穷积分的值，即

\[ \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{A \rightarrow+\infty} \int_a^A f(x) \mathrm{d} x \]

若 $A \rightarrow+\infty$ 时 $\int_a^A f(x) \mathrm{d} x$ 没有极限，则称无穷积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散．

定理 6 设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 为正项级数。若存在一个单调下降的非负函数 $f(x)$ （ $x \geqslant 1$ ），使 $$ u_n=f(n), \quad n=1,2, \cdots, $$

则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛的充要条件为无穷积分 $\int_1^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。

§3任意项级数

1.交错级数

所谓交错级数是指这样的级数：它的项是一项为正一项为负地交错着排列的，即可写成下列形式：

\[ u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_n, \]

其中 $u_n>0(n=1,2, \cdots)$ 。关于交错级数的收敛性，有下面常用的一个判别法。定理1（莱布尼茨判别法）若交错级数满足下列条件：（1）$u_n \geqslant u_{n+1}(n=1,2, \cdots)$ ，（2） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0$ ，则级数收敛。

2.绝对收敛与条件收敏

定理2 对于任意项级数

\[ \sum_{n=1}^{\infty} u_n, \]

若其各项取绝对值后所成的正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。

定义若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$ 收敛，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 绝对收敛．若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛但级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$ 发散，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 条件收敛

命题1－个绝对收敛的级数的和数，等于它的所有的正项组成的级数的和数加上它的所有的负项组成的级数的和数．